Come risolvere le disequazioni di secondo grado. Procedura semplice e completa.

Adesso che hai imparato a risolvere le disequazioni di primo grado, vuoi scoprire come si risolvono quelle in cui la incognita \(x\) compare con esponente \(2\), ovvero le disequazioni di secondo grado. In questo articolo ti darò una guida passo passo e semplice da ricordare.

Nota bene: è necessario che tu sappia già risolvere le equazioni di secondo grado, per esempio mediante il calcolo del delta. Se ancora non sai risolvere le equazioni di secondo grado, ti invito a leggere questo post precedente.

Per prima cosa chiariamo cosa intendiamo per disequazione di secondo grado: Essa indica una diseguagliaza tra espressioni che contengono una incognita (che indichiamo con il simbolo \(x\)) che appare con esponente massimo di “2” (ovvero, \(x\) alla seconda). Esempi di disequazioni di secondo grado sono:

\(x^2 – x – 1 < 0\)

\(x > x^2\)

\(x^2 \le 100\)

Come vedi, il simbolo di diseguaglianza può essere “\(<\)” (minore di) e “\(>\)” (maggiore di), oppure includere l’uguale nelle forme “\(\le\)” (minore o uguale di) e “\(\ge\)” (maggiore o uguale di).

Procedura in tre passaggi per risolvere le disequazioni di secondo grado

Come quasi ogni problema matematico, la procedura per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado può variare molto. Probabilmente hai già dato un’occhiata a numerosi esempi, ognuno dei quali seguiva un ordine di risoluzione diverso, e che ti hanno solamente confuso le idee. Di seguito, ti suggerisco tre semplici passaggi che valgono in ogni occasione in cui ti ritrovi a risolvere una disequazione di secondo grado. Attento: alcuni passaggi possono essere un po’ complessi (per esempio, includono la risoluzione della equazione di secondo grado associata, oppure il calcolo del delta) ed in tal caso ti rimaderò ad altri articoli che ho scritto in precedenza e che contengono delle spiegazioni supplementari.

  1. “Spostare” tutti i termini a sinistra del simbolo di disuguaglianza e sommare tutti i termini omogenei.
    • Quando sposti un termine da una parte all’altra, questo cambia di segno, come nel caso delle semplici equazioni.
    • “Sommare i termini omogenei” significa sommare tra di loro elementi simili, ad esempio: termini noti con termini noti, \(x\) di primo grado tra loro, \(x^2\) di secondo grado tra loro.
  2. Calcolare il delta e risolvere l’equazione di secondo grado associata.
    • Per fare ciò sostituiamo “temporaneamente” un uguale “=” al simbolo di disequaglianza e risolviamo l’equazione corrispondente
    • Il delta calcolato servirà per trovare la soluzione dell’equazione di secondo grado associata, ma anche per determinare (nel passaggio 3) le soluzioni della disequazione.
    • Come di consueto, l’equazione di secondo grado associata potrà avere: due soluzioni, un’unica soluzione, oppure nessuna soluzione.
    • Ripasso: leggi l’articolo su come calcolare il delta e successivamente su come risolvere le equazioni di secondo grado.
  3. Determinare l’intervallo di soluzioni per valori interni oppure esterni.
    • Delta positivo.
    • Delta nullo o negativo
      • Significa che la soluzione dell’equazione associata è unica.
      • Se il segno della disequazione è discorde con il segno della \(x^2\), allora la disequazione avrà soluzione per tutti i valori reali, esclusa la (unica) soluzione dell’equazione associata. In caso contrario, la disequazione non ha soluzione.
      • Ci sono alcuni casi speciali in cui, nel caso di delta nullo, è necessario includere oppure escludere la singola soluzione dell’equazione associata. Leggi questo articolo per imparare a risolvere le disequazioni con delta nullo ed essere in grado di dare la soluzione esatta al problema.

Conclusioni

Quella descritta sopra è una procedura applicabile ad ogni situazione. Il procedimento però è complesso in quanto richiede la risoluzione di sottoproblemi e di effettuare scelte diverse in funzione del valore del delta. Il mio consiglio è dunque quello di tenere la procedura a portata di mano, ma allo stesso tempo di esercitarti molto, per essere sicuro di saper eseguire i passaggi per ognuno dei possibili casi che si possono presentare. Puoi cominciare da questo esercizio svolto su una disequazione di secondo grado.

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