Guida alla risoluzione delle disequazioni di primo grado

In questo articolo ti mostrerò quali sono i semplici passi da seguire per trovare la soluzione di una disequazione di primo grado. Se non sai bene cosa sia una disequazione e non ricordi le differenze con le più comuni “equazioni” ti consiglio di leggere prima questo post.

Intanto chiariamo: che cos’è una disequazione di primo grado? Essa indica una relazione di diseguaglianza tra due espressioni che conengono incognite. Il “primo grado” si riferisce al grado delle ingognite, solitamente indicate con la lettera \(x\), che si presenta sompre “senza esponente” (ovvero, in una equazione di primo grado la \(x\) ha sempre esponente uguale ad 1).

Esempi di disequazioni di primo grado sono:

\(x – 3 > 0\)

\( 2 – 2x > 3x + 1\)

\( 100 > 100x – 1\)

Tre semplici passaggi per risolvere le disequazioni di primo grado (valgono in tutti i casi)

Una disequazione si può risolvere in numerosi modi. Più si diventa esperti, più si è in grado di risolverle con meno passaggi. Ma se sei capitato in questo post, stai cercando una spiegazione semplice e che funzioni per bene per tutti le possibili disequazioni di primo grado che il/la prof ti metterà nel prossimo compito in classe. Il mio consiglio è dunque seguire questa breve lista di passaggi facili da eseguire.

  1. “Spostare” tutti i termini con la \(x\) a sinistra e tutti termini noti a destra del segno di diseguaglianza. Ricorda che, come nel caso delle equazioni, quando un termine viene spostato da una parte all’altra cambia di segno.
  2. Sommare tutti i termini omogenei. Vale a dire: a sinistra, sommerò tra loro tutti i termini con la x; a destra sommerò tra di loro tutti i termini senza x.
  3. Dividere il termine a destra (senza \(x\)) per il coefficiente della \(x\). Attenzione: se il coeffieciente della \(x\) è negativo, eseguendo questa operazione dobbiamo ricordarci di cambiare il verso della disequazione.

Ma mettiamolo subito in pratica con alcuni esempi, per essere sicuri di aver capito i passaggi necessari alla risoluzione di una disequazione.

Esempio 1. Risolvere la disequazione di primo grado: \( 3x – 3 > x + 1\)

Seguendo la lista sopra, come prima cosa spostiamo tutti i termini contenenti l’incognita a sinistra e tutti i termini senza incognita a destra (ricordandoci di cambiare di segno quando opportuno):

\( 3x – 3 > x + 1\) (disequazione iniziale)

\( 3x – x > 1 + 3\) (spostiamo le incognite a sinistra e i termini noti a destra)

\( 2x > 4\) (sommiamo i termini omogenei)

\( x > 2\) (dividiamo per il coefficiente di \(x\))

La nostra disequazione ha soluzioni per \( x > 2\). Attenzione: questo era in realtà un caso semplice. Ti consiglio di proseguire la lettura per conoscere due casi insidiosi che sicuramente ti ritroverai nel primo compito con le disequazioni di primo grado.

Esempio 2. Quando la disequazione di primo grado cambia di verso.

Risolviamo la seguente disequazione facendo attenzione specialmente al passaggio finale!

\( x – 3 > 3x + 1\) (disequazione iniziale)

\( x – 3x > 1 + 3\) (spostiamo le incognite a sinistra e i termini noti a destra)

\( – 2x > 4\) (sommiamo i termini omogenei)

\( x < -2\) (dividiamo per il coefficiente della x e, poiché è negativo, la disequazione cambia di verso)

La risoluzione di questa disequazione era molto simile alla precedente ma avrai notato il passaggio cruciale nell’ultimo passaggio: dividendo entrambi i membri per il numero \(-2\) devo tenere a mente la regola che mi obbliga a cambiare il verso della disequazione. In questo caso, il segno cambia da “maggiore” a “minore”. Otteniamo che la nostra disequazione ammette soluzione per valori di \(x<-2\).

Esempio 3. Una disequazione con soluzione “impossibile”

Attenti che non tutte le disequazioni ammettono soluzione. La disequazione che ti mostrerò adesso è un esempio di disequazione di primo grado impossibile. Come riconoscerla? Facile, scopriamolo subito. Nota che, la risoluzione della disequazione segue sempre gli stessi passaggi, dunque il metodo che abbiamo imparato in questo articolo è davvero potente. Partiamo con l’esempio di disequazione impossibile:

\(2x – 4 > 2 – x + 3x\) (disequazione iniziale)

\(2x + x – 3x > 2 + 4 \) (spostiamo tutte le incognite a sinistra e tutti gli altri termini a destra)

\(0> 6 \) (sommiamo i termini omogenei)

impossibile!

A questo punto è grande la sorpresa. La incognita \(x\) è scomparsa! No, non abbiamo commesso nessun errore: semplicemente tutti i termini con la incognita si annullavano tra di loro. Ma questo non basta. Abbiamo ottenuto una soluzione che non ha nessun senso. Infatti provando a leggerla con il suo significato, essa è completamente falsa. L’ultima riga dice infatti che “zero è maggiore di sei”. Questo è decisamente impossibile. Concludiamo che la nostra disequazione è impossibile a sua volta.

Esempio 4. Disequazione di primo grado sempre verificata (per ogni \(x\) appartenente ai reali)

Adesso vedremo un caso simile al precedente (in cui la incognita ancora scompare) ma con una conclusione completamente differente. Risolviamo la seguente disequazione di primo grado:

\(2x + 4 > 2 – x + 3x\) (disequazione iniziale)

\(2x + x – 3x > 2 – 4 \) (spostiamo tutte le incognite a sinistra e tutti gli altri termini a destra)

\(0> -2 \) (sommiamo i termini omogenei)

Sempre verificata!

Abbiamo di nuovo ottenuto una espressione che non contiene più la incognita \(x\). Questa volta però, provando a leggerla, ci accorgiamo che è vera. Essa infatti si può leggere come “zero è maggiore di meno due”, che non fa una piega. In casi come questo concludiamo che la nostra disequazione di partenza è verificata per ogni valore di \(x\)

Questo conclude il nostro articolo di oggi. Abbiamo esplorato insieme tutti i possibili casi di disequazione di primo grado che ti si possano presentare davanti durante il compito in classe. Ti basterà esercitarti e ricordare la lista con i tre passaggi fondamentali per essere sicuro di riuscire a prendere un buon voto. Se non hai capito qualcosa, lascia un ocmmento o scrivimi direttamente.