Risoluzione delle equazioni di secondo grado: formule ed esempi

Uno degli argomenti più importanti durante lo studio della matematica alle superiori sono certamente le equazioni di secondo grado. Infatti, le equazioni di secondo grado sono molto frequenti, anche nello studio della fisica o addirittura nella vita di tutti i giorni. Per risolverle spesso non è sufficiente un buon intuito con i numeri ma bisogna memorizzare una formula.

Una equazione di secondo grado si presenta nella forma:

\( a x^2 + b x + c = 0\)

dove le lettere \(a\), \(b\) e \(c\) sono dei coefficienti numerici. Esempi di equazioni di secondo grado sono:

\(2 x^2 – 3 x = 20\)

\(4 = x^2 + 6 x\)

\(2 x^2 = – x\)

In tutte queste equazioni l’incognita \(x \) compare con grado massimo 2. Per questo motivo vengono dette di secondo grado.

Le equazioni di secondo grado ammettono fino ad un massimo di due soluzioni reali.

Risolvere una equazione di secondo grado (spiegazione con esempio)

Quello che ti mostrerò adesso è un metodo universale, che puoi utilizzare per trovare le soluzioni (se ci sono) di qualsiasi equazione di secondo grado. Consideriamo questa equazione di secondo grado come esempio e proviamo a trovare le sue soluzioni:

\( 3 + x^2 = 4 x \)

Per prima cosa, per semplicità, ordiniamo i termini dell’equazione, spostandoli tutti a sinistra dell’uguale, da quello con grado maggiore a quello con grado minore. Riordinando gli elementi otteniamo:

\(x^2-4x+3=0\)

Nota che il \(4x\) ha cambiato segno. Questo avviene quando spostiamo i termini dell’equazione da una parte all’altra dell’uguale.

A questo punto siamo pronti per applicare la formula per la risoluzione delle equazioni di secondo grado:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4 a c}}{2a} \)

Nota: puoi fare riferimento anche a questo formulario online per una guida sintetica.

La quantità sotto la radice quadrata viene indicata con il simbolo \(\Delta\)

\(\Delta = b^2 – 4 a c\)

Il \(\Delta\) è molto importante perché ci permette di sapere se l’equazione ammette 2 soluzioni distinte, 1 soluzione (o, analogamente, due soluzioni coincidenti) oppure nessuna soluzione. Infatti,

se \(\Delta > 0 \) l’equazione ammette due soluzioni distinte;
se \(\Delta = 0 \) l’equazione ammette due soluzioni coincidenti;
se \(\Delta < 0 \) l’equazione non ammette soluzioni reali.

Tornando al nostro esempio, risolviamo l’equazione di secondo grado \(x^2-4x+3=0\). In questo caso le lettere \(a\) , \(b\) e \(c\) hanno valori, rispettivamente

\(a\) = 1

\(b\) = -4

\(c\) = 3

Dunque, il calcoliamo il \(\Delta\):

\(\Delta = b^2 – 4 a c = (-4)^2 – 4 (1) (3) = 4\)

Poiché siamo nella situazione in cui il \(\Delta > 0 \) (delta positivo) avremo due soluzioni reali distinte; calcoliamole utilizzando la formula risolutiva:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4 a c}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2}{2}\)

Otteniamo le due soluzioni rispettivamente considerando una volta il segno positivo davanti alla radice, un’altra volta il segno negativo.

\( x_{1} = \frac{4 +2}{2} = 3\)

\( x_{2} = \frac{4 -2}{2} = 1\)

Altri esercizi svolti sulle equazioni di secondo grado (casi particolari con delta negativo o nullo)

Adesso che imparato la teoria, che include calcolo del delta, possibili casi e formula delle soluzioni, ti consiglio di dare una occhiata ad alcuni esempi concreti. Questi esercizi svolti sulle equazioni di secondo grado ti aiuteranno a fissare i concetti e ad applicarli ai tuoi esercizi con scioltezza.

Puoi andare a dare una occhiata ad alcuni esempi di risoluzione di equazioni di secondo grado, in particolare: