Esercizio svolto: disequazione di secondo grado e calcolo del delta

Se siete capitati in questo post, probabilmente avete studiato da poco in classe le disequazioni di secondo grado e vi trovate a risolvere i compiti per casa che il/la prof vi ha lasciato. Siete nel posto giusto. In questo articolo affronteremo il problema di risolvere le disequazioni di secondo grado mediante il calcolo del delta. Per fare ciò, procederemo con un esempio. Se però, per qualche motivo, pensi che la differenza tra equazioni e disequazioni ti è ancora poco chiara, ti consiglio prima di leggere questo post precedente.

Supponiamo di voler trovare le soluzioni della disequazione di secondo grado

\(x^2 + x – 6 < 0\)

Primo step: risolvere l’equazione associata

Come saprete, la risoluzione di una disequazione di secondo grado passa attraverso la risoluzione della cosiddetta equazione associata. Ovvero, in un primo step, abbiamo bisogno di sostituire il simbolo di “minore” con l’uguale e di trovare le soluzioni della equazione corrispondente, ovvero:

\(x^2 + x – 6 = 0\)

Per risolvere questa equazione dobbiamo calcolare il delta (se non ti ricordi come si risolve una equazione di secondo grado ti consiglio di rileggere questo post). In questo caso, abbiamo un delta positivo, infatti

\( \Delta = b^2 – 4 a c =\)

\(= 1^2 – 4 (1) (-6) \)

\( = 25 \)

Da cui otteniamo le due soluzioni corrispondenti

\( x_1 = \frac{-1-\sqrt{25}}{2} = -3\)

\( x_2 = \frac{-1+\sqrt{25}}{2} = 2\)

Secondo step: valori interni o valori esterni?

Determinate le due soluzioni, nel nostro caso \(2\) e \(-3\), ci basterà capire se la soluzione della nostra specifica disequazione è “per valori interni” (ovvero compresi tra le due soluzioni) oppure “per valori esterni” (viceversa).

Per determinare ciò, basta tenere a mente questa regola:

  • Una disequazione ha soluzione per valori esterni se il segno del coefficiente della \(x^2\) è concorde con il segno della disequazione.
  • Al contrario, una disequazione ha soluzione per valori interni se il segno del coefficiente della \(x^2\) è discorde con il segno della disequazione.

Per chiarezza facciamo l’elenco di tutti i possibili casi. Indicando con \(a\) il coefficiente della \(x^2\), abbiamo che:

Se \(a>0\)ed il segno della disequazione è “>”, allora sono concordi (valori esterni)

Se \(a<0\)ed il segno della disequazione è “<“, allora sono concordi (valori esterni)

Se \(a>0\)ed il segno della disequazione è “<“, allora sono discordi (valori interni)

Se \(a<0\)ed il segno della disequazione è “>”, allora sono discordi (valori interni)

Regole per capire se il coefficiente della x di grado maggiore ed il segno della disequazione sono concordi/discordi

Nel nostro caso il coefficiente della \(x^2\) è esattamente 1 (positivo), e la disequazione ha segno <. Essi sono discordi. La nostra equazione ha soluzione per valori interni, nello specifico la soluzione della disequazione che intendiamo risolvere è

\(-3 < x < 2\)

Questo conclude il nostro esercizio. Non preoccuparti se ancora non ti è del tutto chiaro come risolvere una disequazione di secondo grado. Ci sono ancora numerosi casi che non abbiamo affrontato. C’è solo un modo per migliorarsi in matematica: studiare con constanza. Continua a fare esercizi ed a seguire questo blog e vedrai con il tempo i risultati arrivare. Se hai difficoltà con qualche esercizio, invialo all’indirizzo emaiil di questo blog. Pubblicheremo la soluzione con tanto di spiegazione.