Abbiamo già visto in precedenza come si risolve una equazione di secondo grado attraverso il calcolo del delta. Questo è un metodo standard, applicabile ad ogni equazione di secondo grado. Abbiamo notato che, a seconda del valore del delta, l’equazione di secondo grado può avere due, una o nessuna soluzione (nei reali).
Nel caso in cui il delta risulta positivo, sappiamo che otteniamo sempre due soluzioni reali distinte. Questo significa che le soluzioni sono due diversi numeri. Questi numeri possono essere positivi o negativi, non ha importanza. Ma perché quando il delta è positivo otteniamo sempre due soluzioni?
Per comprenderlo dobbiamo esaminare la formula risolutrice, ovvero quella che ci permette di determinare le soluzioni dell’equazione dato il delta. Come ricorderete tale formula è
È proprio il \(\pm\) che permette di ottenere in alcuni casi due risultati distinti. Infatti, quando il delta è positivo, la quantità a denominatore varia a seconda che esso venga considerato con segno + o con segno -. Poiché la quantità a denominatore resta fissa, questo fa sì che se (e solo se) il delta è positivo, otteniamo due numeri differenti.
Dimostrazione: Se \(\Delta > 0\) allora le soluzioni sono distinte.
Possiamo anche cercare di dimostrare analiticamente quanto finora detto. Scriviamo separatamente l’espressione rappresentante le due soluzioni
\( x_1 = \frac{-b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\) \( x_2 = \frac{-b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\)e studiamo analiticamente il caso in cui esse sono diverse, ovvero
\(x_1 \ne x_2\)\(\frac{-b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \ne \frac{-b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\).
Per prima cosa, eliminiamo i termini uguali a sinistra e destra dell’uguale. Otteniamo così
\(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \ne – \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\).
Assumento che si tratti di una equazione di secondo grado, abbiamo la garanzia che \(a \ne 0\). Possiamo dunque moltiplicare entrambi i membri per \(2a\), ottenendo così
\(\sqrt{\Delta} \ne – \sqrt{\Delta}\).
Portiamo tutto a sinistra dell’uguale
\( 2 \sqrt{\Delta} \ne 0\)e dividiamo per due entrambi i membri
\( \sqrt{\Delta} \ne 0\).
Infine, elevando al quadrato otteniamo esattamente
\( \Delta \ne 0\).
Abbiamo ottenuto che, se due soluzioni sono diverse, il delta deve necessariamente essere diverso da zero. Unito al fatto che per valori negativi non saremmo in grado di calcolare alcuna soluzione reale, concludiamo che per ottenere due soluzioni il delta deve necessariamente essere maggiore di zero, ovvero
\(\Delta > 0\)Approfondimento: in un certo senso abbiamo sempre due soluzioni
Nel caso di delta uguale a zero è inutile andare a controllare il risultato in entrambi i casi: sommare o sottrarre una quantità nulla non cambierà minimamente l’outcome dell’operazione. Per questo confluiremo in due soluzioni \(x_1\) ed \(x_2\) inevitabilmente coincidenti. Infine, il caso atipico di delta minore di zero ci pone nella situazione di impossibilità di procedere al calcolo in quando la radice di un numero negativo è una operazione impossibile nei reali. Quanto detto però è vero fino ad un certo punto.
- Nel primo caso (delta uguale a zero) dovremmo correttamente dire che le soluzioni sono comunque due ma “coincidenti”. Esse infatti provengono da due caolcoli distinti che danno origine allo stesso risultato.
- Nel caso di delta negativo, esiste un insieme di numeri in cui è possibile trovare ugualmente le soluzioni dell’equazione. Questo è l’insieme dei numeri complessi. Studierete negli ultimi anni del liceo che, prendendo in considerazione l’unità immaginaria, è possibile determinare il risultato di una radice quadrata di un numero negativo. La conseguenza è che una equazione di secondo grado con delta negativo ancora ammette due soluzioni “nei complessi”.