Le disequazioni vengono solitamente introdotte agli studenti tra il primo ed il secondo anno delle scuole superiori. A quel punto della carriera scolastica, abbiamo appena terminato in maniera approfondita lo studio delle equazioni e sappiamo già risolvere anche le equazioni di secondo grado mediante l’uso del delta. Ciononostante, le disequazioni mettono inizialmente in confusione. Appaiono simili nella forma alle equazioni, ma hanno quegli strani segni al centro che, invece di rappresentare una eguaglianza tra due termini, servono piuttosto ad indicare un ordine (per esempio, il termine a sinistra è più grande del termine a destra).
In un certo senso, le equazioni e disequazioni si assomigliano…
In qualche modo, le disequazioni assomigliano alle meglio note equazioni. Ecco alcuni motivi per cui equazioni e disequazioni possono sembrare (ed effettivamente sono) simili:
- le disequaioni vengono risolte in modo simile alle equazioni;
- per risolvere alcune disequazioni è spesso necessario passare per la risoluzione dell’equazione associata;
- è possibile aggiungere o sottrarre ad entrambi i membri una stessa quantità;
- gli elementi che passano da una parte all’altra dell’uguale (o del segno > o <) cambiano di segno.
Tuttavia, equazioni sono profondamente diverse. In questo articolo ci concentreremo dunque a comprendere la differenza tra equazioni e disequazioni e successivamente.
La differenza di significato tra equazioni e disequazioni
Innanzitutto, equazioni e disequazioni hanno una grande differenza semantica. Le equazioni servono a stabilire l’eguaglianza tra due termini, e sono caratterizzate dal segno
\(=\) “è uguale a”, “coincide con”, “equivale a”.
Alcuni esempi di equazioni sono:
\( 0 = 2 x^2\) \( 2 + 3x = 5x\) \(2x + 9 = 8 – x\)D’altra parte, le disequazioni rappresentano una relazione ben precisa tra due elementi che può essere valida sotto certe circostanza. Le disequazioni sostituiscono all’uguale i segni di
\(>\) “maggiore”,
\(\ge\) “maggiore o uguale”,
\(<\) “minore”,
\(\le\) “minore o uguale”.
Le differenze nel metodo di risoluzione tra equazioni e disequazioni
Il/La prof di matematica prontamente cercherà di rimarcare le accortezze da tenere durante la risoluzione delle disequazioni. Alcune operazioni che facevamo grosse conseguenze con le equazioni, possono causare un “cambio di verso” della disequazione. Per esempio:
Anche per le disequazioni, possono moltiplicare entrambi i membri ( a destra e a sinistra del segno) per una stessa quantità; Tuttavia, nel caso delle disequazioni, se moltiplico entrambi i membri per un numero negativo, è necessario invertire il verso della disequazione. Per esempio, consideriamo la disequazione
\(-x + 3 > 7\)Moltiplicando entrambi i membri per -1, devo invertire il verso da maggiore a minore, ovvero
\(-1 (-x +3) < -1 (7)\) \(x – 3 < -7\)La stessa regola vale per la divisione: se divido entrambi i membri per un numero negativo, cambia il verso della disequazione.
Queste sono le uniche due regole a cui fare veramente attenzione durante la risoluzione. Tuttavia, una rimarcabile differenza tra equazioni e disequazioni risiede ancora nel tipo di risultato che ottengo alla fine, come vedremo in quanto segue.
La soluzione delle equazioni è diversa da quella delle disequazioni
Nel caso delle equazioni, solitamente, la soluzione è rappresentata da un numero (o da un insieme finito di numeri) ben preciso che corrisponde al valore della variabile \(x\) che rende valida l’eguaglianza. Per esempio, l’equazione
\( 2x + 6 = 0\)ha come soluzione \(x = -3\). Significa che esiste un valore ben preciso che rende l’equazione vera. Al contrario, la soluzione delle disequazioni è spesso un intervallo di validità. Esse infatti, in un certo senso, stabiliscono una relazione di ordine che può essere verificata da molti numeri contemporaneamente. Per esempio, consideriamo la disequazione
\(2x + 6 > 0\)che ha come soluzione
\(x > -3\).
Questo si legge, appunto, “x maggiore di -3”. Come facilmente noterai, esistono tantissimi (infiniti) numeri maggiori di -3, come ad esempio 0, 10, 1000, … Al contrario dell’equazione, la disequazione dà vita ad un insieme di soluzioni che sono descritte in forma di un intervallo.
In conclusione
Le equazioni indicano una condizione precisa che spesso ha una soluzione puntuale (un singolo numero), mentre le disequazioni servono ad indicare delle più ampie condizioni di validità e dunque hanno una soluzione che corrisponde ad un intervallo (o insieme più grande di numeri). Attenzione durante i passaggi per la risoluzione: moltiplicare o dividere per un numero negativo è possibile, a patto di cambiare verso alla disequazione.