Se sei capitato in questo articolo, probabilmente sai perfettamente come risolvere una equazione di secondo grado “completa”, ovvero che presenta tutti i termini (secondo grado, primo grado e termine noto), magari utilizzando il calcolo del delta. Adesso però ti è capitata davanti una equazione di secondo grado senza termine noto e non sei sicuro su come applicare le conoscenze. Ti mostrerò in questo articolo che risolvere una equazione di secondo grado “con sole x” (ovvero senza termini noti) è addirittura più semplice del caso completo.
Equazioni di secondo grado come questa
\(x^2 – x = 0\)vengono chiamate spurie. Esse sono caratterizzate dal fatto che il coefficiente relativo al termine noto è nullo. Per risolvere ti mostrerò due metodi equivalenti.
Primo metodo. Immediato.
È possibile risolvere una equazione spuria rapidamente raccogliendo la x a fattor comune. Nel caso dell’esempio sopra possiamo scrivere
\(x^2 – x = 0\) \(x \left(x-1\right) = 0\)A questo punto, notiamo che a sinistra dell’uguale si è formato un prodotto. Un prodotto è zero se almeno uno dei suoi fattori è zero. Possiamo dunque trasformare la nostra equazione di secondo grado in due equazioni di primo grado
\( x= 0\) \( x – 1 = 0\)È facile intuire che 0 è sempre soluzione di una equazione spuria, mentre la seconda soluzione la otteniamo dal secondo termine. Nel nostro caso \( x = 1\). Semplicissimo, vero?
Secondo metodo. Applichiamo ugualmente il delta.
Il metodo di risoluzione di una equazione di secondo grado mediante il calcolo del delta è applicabile anche nel caso di equazioni spurie con qualche accorgimento. Sappiamo che in generale la forma di una equazione di secondo grado è del tipo
\(a x^2 + b x + c = 0\)dove \(a,b,c\) sono numeri che utilizziamo per calcolare il delta
\(\Delta = b^2 – 4ac\).
Il caso delle equazioni spurie, ovvero di equazioni di secondo grado senza termine noto, si ottiene per \( c = 0\). Nonostante \(c\) sia uguale a zero, nulla ci vieta di utilizzare la risoluzione attraverso il calcolo del delta. Nell’esempio sopra avevamo
\(a=1\) \(b=1\) \(c=0\)Da cui segue che il delta è uguale a
\(\Delta = (1)^2 – 4(1)(0) = 1\).
Le due soluzioni sono dunque
\(x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt \Delta}{2a}\)da cui deriva che la prima soluzione è \(x_1 = \frac{-1+1}{2} = 0\) e la seconda è data da \(x_2 = \frac{-1-1}{2} = -1\). Queste coincidono con quanto avevamo trovato in precedenza, a dimostrazione che i metodi sono equivalenti.
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