Nel quesito di oggi parliamo dei numeri complessi. Questo insieme di numeri “estende” i cosiddetti numeri reali con l’unità immaginaria \(i\). Un numero complesso ha solitamente la forma \(ai + b\), dove \(a\) e \(b\) sono a loro volta numeri reali. L’unità immaginaria ha la importante proprietà che al quadrato da come risultato -1, ovvero \(i^2 = -1\), che la contraddistingue da qualsiasi altro numero (reale). Per un formulario completo sui numeri complessi, ti consiglio di leggere questo post.
Con l’unità immaginaria è possibile svolgere qualunque tipo di operazione matematica che eravamo abituati ad usare con i numeri reali, come ad esempio somma, moltiplicazione, radice quadrata, elevamento a potenza, e quant’altro.
È dunque lecito chiedersi come si risolvono alcune di queste operazioni. In particolare, come suggerito dal titolo di questo post, oggi cercheremo di comprendere come è possibile trasformare in una forma più maneggevole l’espressione \(i^i\) (“i elevato alla i”).
Si dà il caso che “i alla i” non sia un numero immaginario. In quanto segue, dimostreremo infatti che
\(i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}\)che, come avrete notato, è un numero reale (non contenendo al suo interno alcuna unità immaginaria). Anzi, fa circa 0.21.
Dimostrazione di \(i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}\)
Livello di difficoltà: medio/alto
Possiamo partire spolverando alcune formule note sull’unità immaginaria come l’identità di Eulero. Essa ci dice che
\( e^{i x} = \text{cos}(x) + i \cdot \text{sen}(x)\)Da questa espressione possiamo derivare una utile caratterizzazione dell’unità immaginaria, infatti, sostituendo ad \(x\) il valore dell’angolo pi greco \(\frac{\pi}{2}\), otteniamo
\( e^{i \frac{\pi}{2}} = \text{cos}(\frac{\pi}{2}) + i \cdot\text{sen}(\frac{\pi}{2})\) \( e^{i \frac{\pi}{2}} = 0 + i \cdot 1\)Da cui, appunto:
\( i = e^{\frac{i\pi}{2}}\)Adesso, proviamo a sostituire questo valore alla base \( i \) dell’espressione originale:
\(i^i = \) \( = \left( e^{ \frac{i\pi}{2} } \right)^{ i }\) \( = e^{i \cdot \frac{i\pi}{2}}\) \( = e^{i^2 \frac{\pi}{2}}\)Infine, ricordandoci la vera definizione base di \(i^2 = -1\), otteniamo:
\( i^i = e^{(-1) \frac{\pi}{2} } \) \( = e^{-\frac{\pi}{2}}\)Esattamente, c.v.d. (come volevasi dimostrare).
Questo conclude la dimostrazione. Se hai perso qualche passaggio o nutri il bisogno di ulteriori chiarificazioni, lascia un commento a questo post oppure scrivi utilizzando la chat facebook installata su questo sito (in basso a destra).