Questa è una domanda frequente tra gli studenti. Non solo quelli che cominciano a studiare le operazioni con le potenze, ma anche chi prosegue con argomenti più avanzati della matematica possono ogni tanto tornare ad avere questi dubbi.
Infatti, tra le potenze, quelle con esponente negativo sembrano a prima vista strane. Se per esempio \(8^3\) significa moltiplicare \(3\) fattori uguali ad \(8\)fra loro, ovvero
\(8^3 = 8 \times 8 \times 8\)quale sarebbe invece il significato di \(8^{-3}\)?
Per rispondere a questa domanda dobbiamo, dobbiamo prima ricordarci del caso più semplice. Ovvero: quanto fa un numero elevato a meno uno? Abbiamo già parlato di questo in un precedente post. La risposta breve è: un numero elevato a meno uno è uguale al suo inverso.
QUINDI, quando un numero è elevato ad esponente negativo, per ottenere il risultato dobbiamo consederare il suo inverso. Torniamo adesso al nostro esempio iniziale. Ricordandoci che l’inverso di \(8\) è esattemente \(\frac{1}{8}\), possiamo dedurre che:
\(8^{-3} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{8}\)Per convincerci meglio di questo risultato possiamo utilizzare un altra regola delle potenze. Ricordandoci che una “potenza di potenze è uguale alla potenza del prodotto degli esponenti” possiamo scrivere che
\(8^{-3} = \left(8^{-1}\right)^3\)Per quanto detto prima, un numero elevato a meno 1 è uguale al suo inverso, da cui otteniamo:
\((8^{-1})^3 = \left(\frac{1}{8}\right)^3\)A questo punto è facile concludere che:
\(\left(8^{-1}\right)^3 = \left(\frac{1}{8}\right)^3 = \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{8}\)Ma facciamo subito alcuni altri esempi per prendere familiarità con questa regola e, chissà, memorizzarla una volta per tutte. Ecco alcuni altri esempi di potenze con esponente negativo insieme alla loro soluzione.
\((22)^{-4} = \left(\frac{1}{22}\right)^{-4} = \frac{1}{22} \times \frac{1}{22} \times\frac{1}{22} \times\frac{1}{22} \) \(({-3})^{-3} = \left(\frac{-1}{3}\right)^3 = \frac{-1}{3} \times \frac{-1}{3} \times \frac{-1}{3}\) \((\frac{2}{5})^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{5}{2} \times \frac{5}{2}\)Spero che questo articolo ti sia stato utile. Se hai dei dubbi oppure semplicemente un commento da fare pertinente all’argomento delle potenze ed in particolare di quelle con esponenti negativi, scrivi qui sotto oopure mandami una email.