Il binomio è un polinomio composto dalla somma algebrica di due monomi. Esempi di binomi sono:
\(x + y\)
\(3 – x^2z\)
\(ab + cd\)
…
Il quadrato di un binomio non è altro che l’elevazione “alla seconda” del binomio. Ad esempio:
\((x + y)^2\)Ricordiamo che “elevare alla seconda” significa moltiplicare una quantità per se stessa. Quindi per risolvere il quadrato di un binomio ci basta scriverlo come moltiplicazione del binomio per se stesso e fare la moltiplicazione termine per termine:
\((x + y)^2 = (x+y)(x+y) = \)
\( = x^2 + xy + xy + y^2 = \)
\( = x^2 + 2xy + y^2\)
Derivazione della formula del quadrato di binomio: dimostrazione semplice
Dall’esempio sopra possiamo ricavare una formula per svolgere il quadrato di binomio più rapidamente, in particolare basta fare “il quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo”.
Ma cerchiamo di ottenerlo con un ragionamento più in generale. Abbiamo detto che il binomio altro non è che la somma di due monomi. Indichiamo i due monomi con le lettere \(A\) e \(B\). Allora, il quadrato del binomio sarà:
\((A + B)^2\)Provando a svolgerlo come fatto nell’esercizio sopra otteniamo:
\((A + B)^2 = \) \(= (A + B) (A+B)\) \(= A^2 + AB + AB + B^2\) \( = A^2 + 2 AB + B^2\)Questo risultato vale in generale ed è per questo che possiamo usarlo come formula da riapplicare ad ogni occasione.
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