A differenza delle semplici disequazioni (se non sai cosa siano le disequazioni, leggi prima questo articolo), i sistemi di disequazioni possono creare delle ulteriori insidie. Per risolverli, è necessario prima risolvere ognuna delle due disequazioni singolarmente e poi combinare i risultati in maniera opportuna.
Ma partiamo da un esercizio che ci ha mandato una lettrice sulla nostra pagina Facebook:
Trovare le soluzioni del seguente sistema di disequazioni:
Sistema di disequazioni da risolvere
\(\begin{cases} 1 – (x + 1) > 3 – x \\ x – 2 < 0 \end{cases}\)
Risolviamo la prima disequazione
Concentriamoci sulla risoluzione della prima disequazione. Se non ti ricordi come si risolve una disequazione di primo grado non preoccuparti, è semplicissimo. Per prima cosa “muovi” tutti i termini con la \(x\) a sinistra e tutti gli altri a destra del segno della disequazione. Ricorda che quando sposti un elemento da una parte all’altra, esso cambia di segno. Successivamente, somma tutti i termini simili. Ecco i passaggi:
\(1 – (x + 1) > 3 – x\) \(1 – x – 1 > 3 – x\) \(– x + x > 3 – 1 + 1\) \(0 > 3\)Abbiamo ottenuto un risultato in cui non compare nessuna \(x\). Ci accorgiamo subito che quanto scritto sopra è un risultato impossibile (infatti 0 non è maggiore di 3!). Di conseguenza, la prima disequazione non è valida in nessun caso. In altre parole, è impossibile!
Non serve risolvere la seconda disequazione
Normalmente, come avevamo detto prima, avremmo dovuto procedere con la risoluzione della seconda disequazione del sistema. In questo caso, invece, questo non è necessario: poiché già la prima disequazione è impossibile (ovvero, non è verificata per nessun valore di \(x\)), non è possibile determinare una soluzione in cui addirittura valgano entrambe le disequazioni.
Soluzione finale del sistema di disequazioni dato nell’esercizio
Possiamo dunque concludere che la soluzione del nostro esercizio è l’insieme vuoto \(\emptyset\), o in altre parole, il sistema di disequazioni è impossibile.