Elevare un numero a potenza è una operazione piuttosto intuitiva. La formula \(a^n\) indica il prodotto di \(n\) fattori tutti uguali ad \(a\). Un esempio pratico ci aiuterà a schiarirci le idee:
\(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3\)Ma quale può essere allora il significato matematico di una operazione di elevamento a potenza se il numero è negativo? In questo articolo parleremo del caso semplice in cui l’esponente è -1.
Qual è il risultato della potenza di un numero con esponente -1? La risposta breve è:
Un numero elevato a meno uno è uguale al suo inverso.
\(a^{-1} = \frac{1}{a}\)REGOLA MATEMATICA: POTENZA CON ESPONENTE MENO UNO
L’inverso di un numero si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore.
Vediamo subito alcuni esempi di numeri elevati a -1:
\(3^{-1} = \frac{1}{3}\) \(25^{-1} = \frac{1}{25}\) \((-3)^{-1} = \frac{-1}{3}\) \((\frac{2}{5})^{-1} = \frac{5}{2}\) \((\frac{1}{1000})^{-1} = 1000\)A questo punto avrete imparato la regola pratica. Alcuni di voi però potrebbero non aver ancora visti saziati i loro appetiti di conoscenza. Infatti, abbiamo detto che un numero elevato a meno uno è uguale al suo inverso ma non abbiamo spiegato il perché. Le regole, si sa, sono utili, ma difficili da ricordare. Proviamo dunque a dare una dimostrazione di questa regola.
Perché un numero elevato a meno uno è uguale al suo inverso? Per dimostrarlo, faremo uso di alcune regole aritmetiche ed alcune regole delle potenze. Ricordandoci che dividendo un numero per se stesso di ottiene uno, ovvero \(\frac{a^1}{a^1} = 1\), nulla ci vieta di scrivere \(a^{-1}\) come
\(a^{-1} = \frac{a^1}{a^1} \times a^{-1}\).
A questo punto, proviamo subito a svolgere l’operazione a destra dell’uguale:
\(a^{-1} = \frac{a^1}{a^1} \times a^{-1} = \frac{a^1 \times a^{-1}}{a^1} = \frac{a^0}{a^1}\)Sopra abbiamo usato la regola delle potenze che ci dice che il prodotto di due potenze con la stessa base è uguale alla base elevata alla somma degli esponenti. Nel nostro caso \(a^1 \times a^{-1} = a^{0}\).
Infine, ricordandoci che
- Un numero elevato a zero fa uno
- Un numero elevato ad uno è uguale a se stesso
possiamo concludere che
\(a^{-1} = \frac{a^0}{a^1} = \frac{1}{a}\)Esattamente, c.v.d. (come volevasi dimostrare).
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