Quanto fa +1-1+1-1+… all’infinito?

Con questa domanda potreste trarre in inganno anche dei prefessori di matematica. La risposta non è per niente banale. Proviamo a fare alcuni ragionamenti. Attenzione: devi arrivare in fondo a questo articolo per avere la risposta definitiva.

Possiamo provare a raggruppare gli elementi della nostra serie a-due-a-due in questo modo:

\(+1-1+1-1+… = (+1-1) + (+1-1) + (+1-1) + …\)

Le due serie (a sinistra e a destra dell’uguale) sono equivalenti. Ma dalla seconda possiamo notare che le somme tra le parentesi sono tutte nulle. Infatti, dato che \((+1-1) = 0\), la serie sopra diventerebbe

\((+1-1) + (+1-1) + (+1-1) + … = (0) + (0) + (0) + … \)

Saremmo dunque tentati di rispondere che il risultato all’infinito di quella serie sia uguale a zero… Ma portiamo avanti il nostro ragionamento ancora un po’. Giocherelliamo con la serie e proviamo a raggruppare a partire dal secondo addendo in poi. Otteniamo

\( +1 -1 +1 -1 +… = +1 + (-1 +1) + (-1+1) + …\)

Anche in questo caso, dato che \((-1+1) = 0\), possiamo ridurre la nostra serie a

\(+1 + (-1 +1) + (-1+1) + … = +1 + (0) + (0) + …\)

E concludere che il risultato sia proprio \(1\). Ma questo risultato sembra proprio essere in contrasto con quanto avevamo trovato precedentemente.

Non abbiamo ancora finito! Con un metodo algebrico vi farò vedere che possiamo giungere ad una conclusione ancora diversa. Osserviamo infatti che

\( +1 -1 +1 -1 + … = +1 – (+1 -1 +1 -1 + …)\)

dove la quantità tra parentesi è uguale alla quantità iniziale. Chiamando \(S = +1-1+1-1+…\), l’equazione sopra può essere riscritta come

\(S = 1 – S\)

da cui con semplici passaggi possiamo ottenere una nuova somma all’infinito

\(2S = 1\)

\(S = \frac{1}{2}\)

Con quest’ultima dimostrazione abbiamo dunque ottenuto un nuovo risultato per la somma all’infinito uguale ad un mezzo. Ma qual è dunque la soluzione di questo dilemma?

La somma \(+1-1+1-1+…\) prende il nome di “Serie di Grandi” ed è nota ai matematici da parecchio tempo. Essa non converge ad un preciso valore, almeno in senso “classico”. Come avevamo già intuito, essa oscillerebbe continuamente quindi si può affermare che il valore della somma all’infinito è indeterminato.

Ciononostante, alcuni matematici più esperti vi diranno che è possibile affermare che in un certo senso (non classico) la somma è in effetti \(\frac{1}{2}\): se calcoliamo la somma infinita come media di Cesàro, ovvero come la media delle somme parziali dei primi \(n\) elementi per \(n \to \infty\), questa risulterà essere appunto \(\frac{1}{2}\).

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