Prodotto di polinomi sul piano cartesiano: un metodo grafico

In questo articolo ti mostrerò qualcosa che non sempre viene spiegato in classe, ovvero un metodo grafico per calcolare moltiplicazione tra polinomi su un piano cartesiano. Questo ti permetterà di dare una interpretazione geometrica e visuale alle operazioni tra polinomi. Il procedimento è molto semplice e lo illustreremo passo passo. Al termine, sarai in grado di effettuare la moltiplicazione tra polinomi con un metodo visivo. Questo ti permetterà anche di comprendere meglio il significato delle formule che hai imparato a scuola.

Cominciamo dalla definizione di polinomio e moltiplicazione tra polinomi. Che cos’è un polinomio? Un polinomio è la somma algebrica di più monomi. Esempi di polinomi sono

\(a^2 + 1\)

\( x – y – 3\)

\( 2b + 4 c\)

Avrai notato che la cosa che li caratterizza è che hanno tutti due o più elementi sommati o sottratti tra loro. Una moltiplicazione tra polinomi sarà dunque una operazione di questo tipo

\((a + b) \cdot (c + d)\)

Probabilmente sei già in grado di risolvere questo prodotto. Infatti, la moltiplicazione tra polinomi è la somma algebrica dei prodotti degli elementi del primo con tutti gli elementi del secondo. Otteniamo così

\((a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d\)

Da un prodotto tra due binomi (ovvero, polinomi con due elementi) otteniamo dunque un polinomio con quattro elementi. Vediamo come questo può essere trovato allo stesso modo utilizzando un metodo grafico.

Metodo grafico per la moltiplicazione tra polinomi

Quello che sfrutteremo in questa sezione è l’intuizione che la moltiplicazione tra due elementi (nel nostro caso tra due polinomi) può essere vista come il calcolo dell’area di un rettangolo. Ricorderete, infatti, che l’area del rettangolo è uguale a \(\textit{base} \times \textit{altezza}\). Il prodotto di due qualsiasi numeri può dunque essere “immaginato” come la definizione di quest’area.

Nel nostro caso, immaginiamo che il primo polinomio rappresenti la base ed il secondo polinomio rappresenti l’altezza. Posizionando questi in un piano cartesiano, dovremo dunque rappresentare il primo polinomio (base) sull’asse orizzontale delle \(x\) ed il secondo polinomio sull’asse verticale delle \(y\). Supponendo dunque che

\(\textit{base} = a + b\)

\(\textit{altezza} = c + d\)

passiamo dunque a disegnare questa quantità nel piano cartesiano. Supponendo che tutte le quantità in question (a, b, c, d) siano positivo, otteniamo la rappresentazione

Rappresentazione di due polinomi sul piano cartesiano

Dall’immagine sopra si vede meglio quanto spiegavamo: l’unione dei segmenti \(a\) e \(b\) costituisce la base di un rettangolo che presto andremo a disegnare. Analogamente l’unione dei segmenti \(c\) e \(d\) ne costituisce l’altezza. Poiché abbiamo detto che il prodotto tra i due polinomi ne indica l’area, come prima cosa andiamo a marcare l’area di questo rettangolo.

L’area del rettangolo formato dai due polinomi

L’area del rettangolo formato dai due polinomi è evidenziata in blu. Noi però siamo interessati ad identificare i quattro elementi della moltiplicazione che avevamo visto sopra, ovvero

\(a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d\).

Per fare ciò è sufficiente marcare le linee che delimitano l’area generata da ogni singolo segmento. L’immagine seguente ci aiuterà a chiarire il concetto.

Area generata da ogni singolo segmento

Otteniamo così quattro rettangoli più piccoli. A questo punto è facile capire a cosa corrisponde ognuno dei rettangolo: ognuno di essi è infatti il prodotto dei segmenti che costituiscono le sue dimensioni.

Monomi che corrispondono ad ognuno dei rettangoli più piccoli

Da quest’ultima immagine possiamo finalmente comprendere a fondo il significato dell’uguaglianza che avevamo scritto sopra, ovvero

\((a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d\)

la quale può essere letta anche come “l’area del rettagolo definita dal prodotto dei due polinomi è uguale alla somma delle aree dei rettangoli più piccoli che rappresentano il prodotto tra i singoli monomi”.

Esempio più complicato: prodotto grafico di due polinomi con elementi negativi

L’utilizzo del piano cartesiano ci permette di trattare agilmente polinomi con elementi (o meglio, monomi) negativi. Infatti, ci basterà posizionare tali elementi nella parte negativa del corrispondente asse e capire che segno assegnare allìarea da essi rappresentata.

Supponiamo di voler risolvere con il metodo grafico proposto il seguente prodotto tra polinomi:

\((a – b) \cdot (c – d)\).

In questo caso, i polinomi verranno rappresentati sul piano cartesiano come mostrato nella seguente figura

Polinomi sul piano cartesiano. Gli elementi (equiv. monomi) negativi sono disegnati nella parte negativa dell’asse corrispondente.

I rettangoli più piccoli sono disegnati con la stessa logica dell’esempio precedente. A questo punto, per assegnare il segno corretto all’area dei rettengolini dobbiamo ragionare sul segno dei quadranti del piano cartesiano. Per fare ciò abbiamo bisogno di ricordare la regola dei segni della moltiplicazione. Il primo ed il terzo quadrante hanno segni concordi quindi originarenno un’area positiva. Il secondo e quarto quadrante hanno segni discordi e, di conseguenze, genereranno un’area negativa. Questo è meglio descritto nella seguente figura.

Primo e terzo quadrante sono concordi. Secondo e quarto quadrante sono discordi.

Siamo dunque pronti a scrivere il risultato, tenendo conto dei segni appena calcolati. Abbiamo che il prodotto tra i due polinomi è uguale a

\((a-b) \cdot (c – d) = a \cdot c – a \cdot d – b \cdot c + b \cdot c\).

Questo conclude la spiegazione. Prova anche tu adesso a risolvere alcuni prodotti tra polinomi con il metodo grafico che hai appena imparato. Per esempio, prova a dimostrare graficamente la formula del quadrato di un binomio. Se qualcosa non ti è chiaro, lascia un commento o scrivi alla nostra email.