Perché non si può fare il logaritmo di un numero negativo?

Quando ad un certo punto ti sembra di aver capito tutto riguardo le potenze ed operazioni tra di esse, ecco che il/la prof di matematica annuncia il nuovo argomento del semestre: i logaritmi. Una parola così strana non l’avevate mai sentita prima e siete già nel panico.

Il logaritmo altro non è che l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. Infatti, il risultato del logaritmo di \(a\) in base \(b\) altro non è che l’esponente a cui dovrei elevare a potenza \(b\) per ottenere \(a\).

Come al solito facciamo un esempio:

\(\log_3 9 = 2\)

significa che \(2\) è l’esponente che devo dare a \(3\) per ottenere\(9\), in formule

\(3^2 = 9\).

Ma allora, perché non è possibile fare il logaritmo di un numero negativo. A questo punto probabilmente avrete già la risposta, ma proviamo a continuare il nostro ragionamento come al solito attraverso esempi, per capirlo meglio. Proviamo (per assurdo) a calcolare il logaritmo di un numero negativo, per esempio

\(\log_3 {-9} = ?\)

Qual è l’esponente che dovrei dare a \(3\) per ottenere \(-9\)? Se, come hai detto, hai già compreso per bene le proprietà delle potenze saprai che il risultato di una potenza con base positiva è sempre positivo. Questo è vero sia per esponenti positivi che per esponenti negativi. Ecco alcuni esempi (prova anche tu con la calcolatrice scientifica)

\(3^2 = 9\)

\(3^3 = 27\)

\(3^{-1} = \frac{1}{3}\)

\(3^{-2} = \frac{1}{9}\)

Come vedi, il risultato è sempre positivo! Quindi, non esiste un esponente tale che, data una base (positiva), l’operazione di elevamento a potenza restituisca un risultato negativo. In altre parole, il logaritmo di un numero negativo non esiste.

Se qualcosa ti è ancora poco chiara, lascia un commento qui sotto. Se ci sono domande o esercizi che non riesci a risolvere, scrivimi una email e pubblicherò la soluzione con spiegazione su questo blog.