Perché non si può dividere per zero?

Diviso zero con la calcolatrice

Lo zero è un numero speciale. Spesso in matematica vengono definite regole speciali, appositamente per questo numero. È talmente singolare che, per centianaia di anni, i matematici hanno dibattuto sul significato di questo numero, chiedendosi se avesse realmente senso includerlo tra i numeri stessi. Nel caso della divisione, i nostri insegnanti ci hanno sempre detto che non è possibile dividere per zero.

Ma in che senso non è possibile? E soprattutto, perché? Cercheremo di rispondere a queste domande analizzando il problema da diversi punti di vista.

Proviamo a dividere per zero con la calcolatrice

Proviamo a fare un po’ di matematica empirica (ovvero, sperimentale). Utilizziamo una calcolatrice. Meglio se scientifica, in quanto spesso queste calcolatrici, anziché dare un messaggio di errore generico, producono una spiegazione dell’errore. Se non hai ancora una calcolatrice scientifica e vuoi comprarne una, ti consiglio di leggere questo post, in cui ti consiglio i modelli migliori per le scuole superiori. Per il seguente esperimento, va bene anche la calcolatrice di sistema che trovi sul tuo computer.

Proviamo a svolgere la seguente operazione di divisione per zero utilizzando una calcolatrice:

\(2 : 0\)

otterremo immediatamente un messaggio di errore, come in questa immagine:

Messaggio di errore quando proviamo a dividere per zero con la calcolatrice.

Proviamo allora a dividere per un numero sempre più vicino a zero. Per esempio

\(2 : 0,1 = 20\)

\(2 : 0,01 = 200\)

\(2 : 0,001 = 2000\)

\(…\)

Con un po’ di intuito, capiamo che dividendo per un numero sempre più vicino a zero ci fa ottenere un risultato sempre più grande. Questo ci porta a pensare che il risultato della divisione per zero faccia infinito.

\( 2: 0 = \infty\) (falso, ma supponiamo per un momento che sia vero)

Ma questo porta ad una contraddizione, infatti allo stesso modo potremmo dire che \(3 : 0 = \infty\) (o, analogamente per altri numeri). Portando avanti questo ragionamento otterremmo che

\(2 : 0 = 3 : 0 = \infty\) (falso, ma supponiamo ancora che sia vero)

da cui potremmo concludere che

\(2 = 3\) (assurdo!)

che è palesemente un assurdo! Dunque, affermare che un numero diviso zero faccia infinito non ha senso. La nostra ricerca di una soluzione utilizzando la calcolatrice non ci ha portato lontano. Dividere per zero non sembra essere una operazione sensata in matematica.

Una spiegazione intuitiva del perché non è possibile dividere per zero

Cosa significa effettivamente dividere 2 per 0? Consideriamo prima un caso in cui il divisore è diverso da zero. Per esempio, \( 2 : 2 = 1\). Con un esempio pratico possiamo pensare alla divisione \(2:2\) come l’operazione di suddividere due caramelle a due persone. Chiaramente, ogni persona riceverà una caramella a testa.

Suddividere due caramelle a due persone.

Ma cosa significa essattamente dividere due caramelle a zero persone (che corrisponde alla divisione \(2:0\)? Non possiamo suddividere due caramelle a zero persone, abbiamo bisogno di mettere le nostre due caramelle da qualche parte. L’operazione di divisione per zero sembra avere veramente poco senso.

Come suddividere due caramelle a zero persone?

Un altro modo per vederlo è guardando alla operazione inversa della divisione: la moltiplicazione

Scrivere \(x = 2 : 0\) equivale a chiedersi “qual è quel numero che moltiplicato per zero dà come risultato due?”. Tutti sappiamo che qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero. Di conseguenza, l’operazione di divisione per zero è impossibile.

Ragionamo sul perché non è possibile dividere per zero mediante l’analisi matematica

Come avevamo già intuito precedentemente attraverso il nostro esperimento con la calcolatrice, più ci si avvicina a zero al denominatore, più si ottiene un risultato “grande”. Utilizzando la teoria dei limiti, è possibile affermare che

\(\lim_{x \to 0} \frac{2}{x} = \infty\)

La formula sopra significa che “il limite per x che tende ad infinito della divsione di 2 per x tende ad infinito”. Questo fatto, con studi più avanzati, si può facilmente dimostrare attraverso lo studio della funzione \(f(x) = \frac{2}{x}\) in un intorno del punto \(x=0\) in cui la funzione non è definita.

Spero di avervi convinto con queste argomentazioni. Se qualcosa ancora non è chiaro, lasciate un commento qui sotto o scrivetemi alla mail o sulla pagina facebook. Sarò felice di darvi ulteriori spiegazioni.

Pubblicato da Prof

Ho due lauree in matematica e faccio lo scienziato di mestiere. Scrivo questo blog perché sono appassionato di matematica e mi piace dare una mano agli studenti. E perché no, anche per tenermi in allenamento.

2 Risposte a “Perché non si può dividere per zero?”

  1. Credo che la parte finale di questo post sia errata.. il limite quando x–> infinito di 2:x è 0 e non infinito!

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