L’insidioso caso di un numero negativo elevato a zero

Avevo già scritto un post riguardante le potenze con esponente uguale a zero. Avevamo visto che un qualsiasi numero elevato a zero fa uno (ad esclusione dello zero). I numeri negativi non fanno eccezione. Anche un numero “negativo elevato alla zero” da come risultato uno. La spiegazione è semplice. In questo post vedremo prima alcuni esempi numerici e poi una dimostrazione formale del perché anche un qualsiasi numero nagativo con esponente zero dà come risultato uno.

Esempi di numeri negativi elevati a zero

Di seguito, puoi trovare un elenco con tutti i numeri da meno uno a meno nove. La lista non viene estesa: penso che sia intuitivo inferire il risultato per numeri più grandi.

-1 elevato a 0 fa 1

-2 elevato a 0 fa 1

-3 elevato a 0 fa 1

-4 elevato a 0 fa 1

-5 elevato a 0 fa 1

-6 elevato a 0 fa 1

-7 elevato a 0 fa 1

-8 elevato a 0 fa 1

-9 elevato a 0 fa 1

I numeri da -1 a -9 elevati a 0

E così via.

Ti chiedo dunque, quanto fa secondo te “-197 alla 0”? La risposta è sempre la stessa: uno. 🙂

Dimostrazione del perché anche un numero negativo elevato a zero fa sempre uno

Molti (anche docenti) danno una spiegazione veloce del perché qualsiasi numero, compresi quelli negativi, elevato a zero faccia uno. Essi ti diranno che questo è vero per definizione. Ma in matematica pochissime cose sono vere per definizione. Pressocché tutto è derivabile da altre verità più basilari attraverso una dimostrazione.

Dimostriamo dunque quanto richiesto, ovvero: perché un numero negativo elevato a zero fa uno? Indichiamo un numero negativo esplicitandone il segno con “\(-a\)“. Proviamo ad eseguire una serie di calcoli matematici per derivare il risultato dell’elevamento a potenza con esponente zero di questo numero.

\((-a)^0 = ?\)

Per prima cosa, scriviamo l’esponente “0” come la differenza “1-1”.

\((-a)^0 = (-a)^{1-1}\)

Ricordando le regole delle potenze, sappiamo che la divisione tra due potenze con la stessa base, si scrive proprio come la potenza con base la stessa base ed esponente la differenza tra gli esponenti. Otteniamo dunque:

\((-a)^0 = (-a)^{1-1} = \frac{(-a)^1}{(-a)^1}\)

L’ultima frazione indica appunto la divisione tra due numeri uguali. Il risultato è dunque +1 (il segno positivo viene dal fatto che meno diviso meno fa più). In conclusione

\((-a)^0 = (-a)^{1-1} = \frac{(-a)^1}{(-a)^1} = 1\)

Come volevasi dimostrare (c.v.d.)