Ci scrivono sul nostro gruppo facebook per una spiegazione sul seguente esercizio in cui viene richiesto di semplificare la seguente espressione di polinomi. Essa contiene diverse operazioni ed eseguire i conti con precisione e concentrazione è fondamentale per non commettere errori ingenui che portano ad un risultato errato.
L’espressione è la seguente.
\(\frac{2}{a} ( \frac{a+b}{2b} + \frac{b}{a-b} ) : \frac{a^2 + b^2}{ab-b^2}\)Proviamo a risolverla passo passo. Come prima cosa, eseguiamo l’operazione all’interno delle parentesi tonde. Questa è una buona norma in generale: ricordiamo che le parentesi tonde hanno la precedenza nelle espressioni e le operazioni al loro interno devono essere eseguite per prime. In presenza di diversi tipi di parentesi, eseguiremo per prime le operazioni all’interno dele parentesi tondo, poi le quadre ed infine le graffe. Nel nostro caso sono presenti solo tonde che racchiudono una somma tra frazioni. Procediamo dunque calcolando il m.c.m. ed effettuando la somma algebrica.
\(\frac{2}{a} ( \frac{(a-b)(a+b) + (2b)(b)}{2b(a-b)}) : \frac{a^2 + b^2}{ab-b^2}\) \(\frac{2}{a} ( \frac{a^2-b^2 + 2b^2}{2b(a-b)}) : \frac{a^2 + b^2}{ab-b^2}\) \(\frac{2}{a} ( \frac{a^2+b^2}{2b(a-b)}) : \frac{a^2 + b^2}{ab-b^2}\)Fatto ciò, convertiamo la divisione in moltiplicazione, invertendo il divisore (ricorda che l’inverso di una frazione si ottiene scambiando numeratore con denominatore). Otteniamo così:
\(\frac{2}{a} ( \frac{a^2+b^2}{2b(a-b)}) \frac{ab-b^2}{a^2 + b^2}\)Notiamo che le due frazioni hanno lo stesso termine \((a^2+b^2)\), la prima a numeratore e la seconda a denominatore. Possiamo dunque semplificare tali termini. Otteniamo così:
\(\frac{2}{a} ( \frac{1}{2b(a-b)}) \frac{ab-b^2}{1}\) \(\frac{2}{a} ( \frac{ab-b^2}{2b(a-b)}) \)Analogamente semplifichiamo il 2 a numeratore nella prima frazione con il 2 a denominatore nella seconda frazione.
\(\frac{1}{a} ( \frac{ab-b^2}{b(a-b)}) \)Notiamo adesso che possiamo raccogliere \(b \) a fattor comune.
\(\frac{1}{a} ( \frac{b(a-b)}{b(a-b)}) \)Notiamo immediatamente che numeratore e denominatore sono identici e, di conseguenza, possiamo semplificare ulteriormente per ottenere la soluzione finale dell’esericio
\(\frac{1}{a} \)Il nostro esercizio si conclude qui in quanto non è possibile semplificare ulteriormente. Se non hai capito qualche passaggio o hai bisogno di aiuto con esercizi simili, lascia un commento qui sotto, oppure scrivici via email o su facebook.