Come sapete, in questo blog cerchiamo di rispondere agli SOS di aiuto in matematica, che vengono inviati alla nostra email o sulla pagina/gruppo facebook. Questa volta, da casa, ci scrivono per avere aiuto nel seguente esercizio.
Rappresentare graficamente alcune curve di livello della funzione \( z = x^2 + y^2 + 2x\)
Esercizio sulle curve di livello
Per risolvere questo esercizio, è utile innanzitutto ricorda cosa sono le linee di livello. Esse, infatti, si ottengono fissando una quota (solitamente la coordinata z).
Disegniamo una prima linea di livello per \( z = 0\)
Per esempio, possiamo ottenere una prima linea di livello per la quota \(z = 0\). Fissando \(z = 0\), la funzione diventa
\( 0 = x^2 + y^2 + 2x\)Noterete che quella ottenuta è l’equazione che descrive una circonferenza. Per poterla disegnare, ci basta calcolare centro e raggio di questa circonferenza.
Promemoria: Data una circonferenza \(x^2 + y^2 + a x + b y + c = 0\), le coordinate del centro della circonferenza sono \( C = \left( – \frac{a}{2}, – \frac{b}{2} \right)\) mentre il raggio si ottiene come \(r=\sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} – c}\).
Nel nostro caso, utilizzando le formule appena ricordate, il centro e raggio della circonferenza sono, dunque:
\(C = (-1, 0)\) \(r = 1\)Siamo dunque in grado di disegnare la prima linea di livello:
Disegniamo un’altra linea di livello, questa volta per \( z = 3\)
In maniera analoga, imponendo la quota \(z = 3\), otteniamo che la linea di livello è descritta da
\( 3 = x^2 + y^2 + 2x\)Portandola in forma normale, otteniamo ancora l’equazione di una circonferenza, ovvero:
\( x^2 + y^2 + 2x – 3 = 0\).
In questo caso, centro e raggio assumono i valori (di nuovo, applicando le formule riportate sopra):
\(C = (-1, 0)\) \(r = 2\)Da cui otteniamo una seconda linea di livello da poter rappresentare. Ecco il nuovo grafico:
Spero che questa spiegazione vi sia stata utile. Se avete ulteriori dubbi, lasciate un commento qui o scrivete sulla pagina facebook.