La geometria analitica è tra le più affascinanti branche della matematica delle superiori. Si incominciano ad immaginare e descrivere i cosiddetti “luoghi” di punti e si imparano gli strumenti per visualizzarli ed analizzarli. Il primo luogo di punti che viene studiato è la retta, ovvero un insieme di punti disposti tutti nella stessa direzione. La prima proprietà che viene insegnata è probabilmente quella che ci permette di affermare che per due punti passa una ed una sola retta. Allora, dati due punti, come determinare l’equazione della retta corrispondente?
Supponiamo di avere due punti generici:
\(A = ( x_1, y_1)\)dove le quantità tra parentesi rappresentano le coordinate dei punti. Per determinare la retta passante per i due punti \(A\) e \(B\), ci basta applicare la seguente formula
\(\frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = \frac{x – x_1}{x_2 – x_1}\)FORMULA DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
Ma passiamo immediatamente ad un esempio concreto (numerico) per capire come si applica la formula ad un problema reale.
Esempio numerico: trovare la retta passante per due punti
Supponiamo di dover risolvere un esercizio in cui ci viene richisto di determinare l’equazione di una retta passante per i punti
\(P = ( 1, -3)\) \(Q = ( -2, 4)\)Ricorda sempre che la prima coordinata rappresenta la x e la seconda coordinata rappresenta la y. Applicando direttamente la formula data sopra otteniamo:
\(\frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = \frac{x – x_1}{x_2 – x_1}\)Sostituiamo i valori delle coordinate di P e Q alla formula:
\(\frac{y – (-3)}{4 – (-3)} = \frac{x – 1}{-2 – 1}\) \(\frac{y +3 }{7} = \frac{x – 1}{-3}\) \((y+3)(-3) = (x-1)(7)\)Svolgendo le moltiplicazioni si ottiene:
\(-3y-9 = 7x-7\)Portiamola adesso in forma esplicita, ovvero isoliamo la y a sinistra e portiamo tutti gli altri termini a destra:
\(-3y = 7x-7+9\) \(-3y = 7x+2\) \(y = -\frac{7}{3}x -\frac{2}{3}\)Abbiamo dunque trovato l’equazione della retta passante per i due punti dati P e Q.