In questo post cercherò di fornirvi un formulario completo sui numeri complessi. Tutte le operazioni di base ed altre più avanzate sono inclusi in modo da essere facilmente accessibili.
Definizioni
L’unità immaginaria e le sue potenze
\(i = \sqrt{-1}\) \(i^2 = -1\) \(i^3 = -i\)Relazione con i radicali
\(\sqrt{-a} = i \sqrt{a}\), con \(a \ge 0\)
Operazioni con i numeri complessi
Somma di numeri complessi
\((a+bi) + (c+di) = a + c + (b+d) i\)Differenza di numeri complessi
\((a+bi) – (c+di) = a – c + (b-d) i\)Moltiplicazione di numeri complessi
\((a+bi) (c+di) = ac – bd + (ad+bc)i\)Valore assoluto di un numero complesso
\(\vert a+bi \vert = \sqrt{a^2 + b^2}\)Un caso speciale: quanto fa “i alla i”?
Coniugato di un numero complesso
Definizione di coniugato di un numero complesso
\(\overline{(a+bi)} = a – bi\)Moltiplicazione di coniugati
\((a+bi) (a-bi) = a^2 + b^2\)Semplificazione
Razionalizzazione (numero immaginario a denominatore)
\(\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}\)Numeri nella circonferenza complessa
Forma di numero complesso con r e theta
\(z = a + bi = r(cos(\theta) + i sin(\theta))\)Theta nei complessi
\(a = r cos \theta\) \(b = r sin \theta\) \(tan \theta = \frac{b}{a}\)Potenze e radici di numeri complessi
Potenza n-esima di un numero complesso
\(z^n = r^n(cos(n\theta)+i sin(n\theta))\)Radice n-esima di un numero complesso
\(\sqrt[n]{z} =\sqrt[n]{r}(cos(x)+i sin(x))\)con \(x = \frac{\theta + 2 \pi k}{n}\)
e con \(k = 0, 1, …, n-1\)
Formula di Eulero
Formula di Eulero classica
\(e^{i\pi} +1= 0\)Formula di Eulero con la circonferenza complessa
\(r e^{i\theta} = r (cos \theta + i sin \theta)\)Per r = 1, otteniamo:
\(e^{i\theta} = cos \theta + i sin \theta\)Seno e coseno derivante dalla formula di Eulero
\(cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \) \(sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \)Spero che tu abbia trovato questo formulario sui numeri complessi utile. Ti consiglio di stamparlo e tenerlo con te durante i tuoi esercizi. Pensi che manchi qualche formula? Lasciaci un commento qui sotto tra i commenti oppure scrivici sui nostri canali (email, facebook).