Risultato di una disequazione senza “x”. Cosa significa?

Se, dopo aver effettuato tutti i passaggi per la risoluzione di una disequazione, ti ritrovi davanti ad una espressione che non contiene più l´incognita \(x\), non significa necessariamente che tu abbia commesso un errore. È abbastanza comune il caso in cui i termini con la \(x\) si annullino tra di loro. Questo può voler dire due cose:

  1. La tua disequazione è impossibile,
  2. oppure, la tua disequazione sempre è verificata (per ogni \(x\) appartenente ai reali).

Come fare a distinguere tra i due possibili casi che danno vita a due soluzioni così diverse? È davvero semplice. Infatti, quando le incognite scompaiono, ci ritroviamo davanti ad una disequazione i cui termini sono unicamente dei numeri. In questo caso, la disequazione risulta semplice da leggere. Se quanto “affermato” sottoforma di disequazione è falso, allora possiamo concludere l’opzione 1 (disequazione impossibile). Al contrario, se la disequazione con soli numeri è vera, concluderemo l’opzione 2 (sempre verificata).

Ma vediamo subito due esempi concreti per farci una idea precisa di ciò di cui stiamo parlando.

Esempio 1. Disequazione impossibile.

Risolviamo, per esempio, la disequazione seguente. Se non sei sicuro di come si risolva una disequazione di primo grado, ti consiglio di leggere questo breve post prima di proseguire.

\(x + 1 > x\)

\(x – x > -1\)

\(0 > -1\)

Quanto scritto qui sopra (“zero è maggiore di meno uno”) è completamente falso. Di conseguenza, possiamo concludere che la disequazione è impossibile! È importante notare che, a prescindere dal valore che io possa assegnare alla incognita \(x\), la conclusione della disequazione sarebbe – attraverso i passaggi – sempre la stessa. Per quasto motivo concludiamo che la disequazione non è verificata per nessuna scelta di \(x\).

Esempio 2. Disequazione sempre verificata

Adesso, invece, risolviamo la seguente disequazione.

\(2x – 1 < 3x + 2 -x\)

\(2x -3x + x < 2+1\)

\(0 < 3\)

Ancora una volta ci siamo ritrovati “senza x”. In questo caso, però, quanto scritto qui sopra (“zero è minore di tre”) è vero. Dunque, la disequazione è sempre verificata. Infatti, a prescindere dalla scelta di \(x\), i passaggi mi porteranno alla stessa conclusione veritiera.