Domanda di analisi matematica da una follower: Calcolare l’area compresa tra una funzione e l’asse delle x in un intervallo definito

Una studentessa sul gruppo Facebook ci chiede aiuto per un esercizio di analisi. Il testo chiede di calcolare l’area della parte di piano compresa tra la funzione

\(f(x) = x^2 e^{-\mid x \mid}\)

e l’asse delle \(x\) nell’intervallo [-1, 2].

Come prima cosa notiamo che la funzione è sempre positiva, ovvero \(f(x) > 0\) per ogni valore di \(x\). Questo è vero perché la funzione è prodotto di un quadrato e di una funzione esponenziale. Notiamo inoltre che la funzione è simmetrica, in quanto prodotto di due funzioni simmetriche (appunto, il quadrato di \(x\) e la funzione esponenziale con esponente in valore assoluto).

PoichĂ© la funzione è sempre positiva, per calcolare quanto richiesto basterĂ  di fatto risolvere l’integrale definito tra -1 ed 2 della suddetta funzione. Non scenderemo nei dettagli ma ti basti sapere che, nel caso di funzioni sempre positive, il concetto di integrale definito e quello di area sottesa alla curva coincidono esattamente.

Passiamo dunque alla risoluzione dell’integrale

\( \int_{-1}^2 x^2 e^{-\mid x\mid} \,dx \)

Come prima cosa, dividiamo l’integrale in due, tenendo presente che nella parte negativa del grafico la funzione del valore assoluto cambia di segno

\( \int_{-1}^0 x^2 e^{x} \,dx + \int_{0}^2 x^2 e^{-x} \,dx\)

Integrando per parti in entrambi i casi, otteniamo

\( [x^2 e^{x}]_{-1}^0 – \int_{-1}^0 2x e^{x} \,dx + [x^2 (-e^{-x})]_{0}^2 – \int_{0}^2 2x (-e^{-x}) \,dx\)

da cui otteniamo

\( – e^{-1} – 2 \int_{-1}^0 x e^{x} \,dx -4e^{-2} + 2 \int_{0}^2 x e^{-x} \,dx\)

Proseguiamo, integrando nuovamente per parti entrambi gli integrali

\( -4 e^{-2} – e^{-1} – 2 ([x e^x]_{-1}^0 – \int_{-1}^0 e^{x} \,dx ) + 2 ( [x(-e^{-x})]_0^2 – \int_{0}^2 -e^{-x} \,dx)\)

da cui otteniamo

\( -4 e^{-2} – e^{-1} – 2 (e^{-1} – \int_{-1}^0 e^{x} \,dx ) + 2 ( -2e^{-2} – \int_{0}^2 -e^{-x} \,dx)\)

Adesso, risolviamo gli ultimi due integrali rimanenti ed otteniamo

\( -4 e^{-2} – e^{-1} – 2 (e^{-1} – [e^x]_{-1}^0 ) + 2 ( -2e^{-2} – [e^{-x}]_{0}^2 )\)

Ci resta dunque da eseguire dei calcoli numerici:

\( -4 e^{-2} – e^{-1} – 2 (e^{-1} – 1 + e^{-1} ) + 2 ( -2e^{-2} – e^{-2} + 1 )\)

\( = -4 e^{-2} – e^{-1} – 2 (2 e^{-1} – 1 ) + 2 ( -3e^{-2} + 1 )\)

\( = -4 e^{-2} – e^{-1} – 4 e^{-1} +2 -6 e^{-2} + 2 \)

\( = -10 e^{-2} – 5 e^{-1} +4 \)

\( \approx 0.81\)

Questo scritto sopra è il risultato cercato, ovvero l’area compresa tra la funzione e l’asse delle x misura circa 0.81.